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Sovrapposizione modale: coordinate, accoppiamento e troncamento
La sovrapposizione modale rappresenta una risposta strutturale lineare mediante le forme modali e le loro coordinate dipendenti dal tempo. Può semplificare un modello separando le configurazioni spaziali dalle ampiezze variabili. Tuttavia, il termine modale non rende automaticamente indipendente ogni equazione, e mantenere pochi modi non preserva tutte le grandezze locali altrettanto bene.
Una forma modale è una configurazione di base, non il moto totale.
Le assunzioni relative a masse, rigidità e smorzamento determinano se quelle coordinate si separano in equazioni di risposta indipendenti.
01 / Modello lineare
La sovrapposizione parte da un'equazione definita.
Un modello comune è M ü + C u̇ + K u = F(t), con vettore di spostamento u.
Un modello comune è M ü + C u̇ + K u = F(t), con vettore di spostamento u. Si assumano matrici costanti, M e K simmetriche e definite positive, e smorzamento lineare C. Queste condizioni descrivono un modello illustrativo, non ogni struttura rotante o soggetta a contatto.
La linearità consente di combinare le risposte secondo lo stesso modello. Una rigidezza che varia con lo spostamento, un contatto non lineare o una condizione al contorno variabile possono invalidare tale relazione. Una struttura fisicamente complessa può comunque ammettere un'utile approssimazione lineare locale, ma i limiti di tale approssimazione restano parte del suo significato.
02 / Modi
Il problema agli autovalori non smorzato mette in relazione forma e frequenza.
Per il modello assunto, Kφ[j] = ω[j]²Mφ[j].
Per il modello assunto, Kφ[j] = ω[j]²Mφ[j]. Ogni φ è una forma modale non smorzata e ω una frequenza naturale angolare. La normalizzazione della sua ampiezza è una scelta matematica; raddoppiare φ e dimezzare la sua coordinata modale lascia invariato lo spostamento rappresentato.
COMSOL spiega l'espansione modale e l'ortogonalità dei modi non smorzati appropriati rispetto alle ponderazioni di massa e rigidezza. L'ordinaria perpendicolarità geometrica non è la condizione generale. All'interno di un sottospazio a frequenza ripetuta si può scegliere una base appropriata; l'etichetta del singolo vettore non identifica un moto fisico univoco.
03 / Espansione
Le coordinate combinano le forme spaziali per ottenere lo spostamento.
Scrivi u(t) = Φq(t), oppure Σφ[j]q[j](t).
Scrivere u(t) = Φq(t), oppure Σφ[j]q[j](t). Con una base completa, si tratta di un cambiamento di coordinate all'interno del modello finito. Le coordinate modali variano nel tempo, mentre ciascuna forma della base descrive come il proprio contributo si distribuisce tra le componenti di spostamento rappresentate.
Come sviluppo aritmetico ipotetico, utilizzare vettori adimensionali (1, 1) e (1, −1) con coordinate 2 mm e 1 mm. La loro somma dà spostamenti (3, 1) mm. L'esempio illustra l'addizione vettoriale; non afferma che questi siano modi di una turbina reale.
04 / Smorzamento
L'ortogonalità rispetto alla massa e alla rigidezza non garantisce uno smorzamento disaccoppiato.
Moltiplicando l'equazione trasformata per Φᵀ si ottengono le matrici modali di massa, rigidezza e smorzamento.
Moltiplicando l'equazione trasformata per Φᵀ si ottengono le matrici modali di massa, rigidezza e smorzamento. Una base appropriata del sistema non smorzato può diagonalizzare massa e rigidezza. La matrice di smorzamento ΦᵀCΦ può tuttavia conservare termini fuori diagonale, accoppiando le coordinate modali.
Le equazioni indipendenti dei singoli modi richiedono una relazione di smorzamento compatibile, comunemente chiamata smorzamento classico. Un modello di smorzamento proporzionale è un esempio sufficiente, non una proprietà accertata per ogni materiale o struttura. Sommare le risposte modali indipendenti senza questa condizione può omettere l'accoppiamento rappresentato.
05 / Troncamento
Una base ridotta modifica ciò che il modello può riprodurre.
Mantenendo solo alcune forme, si ottiene un'approssimazione u ≈ Φr qr.
Mantenendo solo alcune forme modali si ottiene un'approssimazione u ≈ Φr qr. Una componente di forza esterna allo spazio da esse generato non è descritta completamente. Uno spostamento a bassa frequenza può essere rappresentato adeguatamente mentre un'altra grandezza rimane sensibile ai contributi omessi.
I gradienti locali, le deformazioni e le tensioni meccaniche possono attribuire alle forme modali pesi diversi rispetto al movimento complessivo. Un modo che contribuisce poco allo spostamento in un punto può essere rilevante per una derivata locale altrove. Il solo numero di modi non può quindi stabilire la stessa accuratezza per tutte le grandezze di risposta richieste.
06 / Ambito
La struttura effettiva determina se si applica la base semplice.
I termini giroscopici, le relazioni non simmetriche e la non linearità possono richiedere un diverso trattamento modale.
I termini giroscopici, le relazioni non simmetriche e la non linearità possono richiedere un diverso trattamento modale. Una base non smorzata utile non costituisce evidenza di frequenze modali misurate, rapporti di smorzamento o livelli di vibrazione ammissibili. Queste grandezze dipendono dal modello fisico dichiarato e dai confini rappresentati.
Non viene attribuito a MARSTON alcun modello modale, forma modale misurata o prestazione vibratoria. Questa pagina non fornisce alcuna procedura di eccitazione o di identificazione sul campo. Spiega perché la sovrapposizione, il disaccoppiamento dello smorzamento e il troncamento sono condizioni distinte anziché etichette intercambiabili.
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Informazioni generali: COMSOL: sovrapposizione modale, smorzamento modale e troncamento. Questi riferimenti spiegano concetti del settore; sono distinti dai documenti MARSTON di prodotto e di progetto applicabili.
Concetti e condizioni fondamentali.
Leggere ogni grandezza insieme al riferimento, alle unità e alle condizioni dichiarate. Una relazione generale non stabilisce un valore specifico di un modello.
| Concetto / grandezza | Significato / relazione | Condizioni / limiti |
|---|---|---|
| Spostamento u | Vettore delle coordinate fisiche | Confini del modello e unità specificati |
| Forma modale φ | Configurazione spaziale di base | La normalizzazione è arbitraria all'interno di un'espansione coerente. |
| Coordinata modale q | Contributo della forma modale variabile nel tempo | Le unità seguono la normalizzazione scelta. |
| Smorzamento modale | ΦᵀCΦ | La forma diagonale è necessaria per le equazioni modali indipendenti. |
| Troncamento | Mantenere un sottoinsieme di forme. | L'accuratezza dipende dalla forza e dalla grandezza richiesta |
Domande ingegneristiche.
Una forma modale coincide con lo spostamento totale?
No. La risposta totale combina le forme modali con le rispettive coordinate modali.
Le forme modali sono sempre geometricamente perpendicolari?
No. L'ortogonalità pertinente si basa sulle relazioni di massa e rigidezza del modello.
Una matrice di massa diagonale rende diagonale anche la matrice di smorzamento?
No. Uno smorzamento compatibile è un requisito distinto.
Pochi modi preservano tutti i risultati relativi alle tensioni meccaniche?
Non necessariamente; le derivate locali possono dipendere da contributi omessi.
I vettori inventati rappresentano modi effettivi della turbina?
No. Illustrano soltanto un'espansione in coordinate.
La pagina fornisce una procedura di prova modale?
No. Spiega le relazioni del modello senza effettuare eccitazioni o identificazioni sul campo.
Richiesta tecnica
Discutere la questione tecnica.
La sovrapposizione modale rappresenta una risposta strutturale lineare mediante le forme modali e le loro coordinate dipendenti dal tempo. Condividi il modello e le informazioni operative o di progettazione applicabili per una discussione tecnica.