Tecnologia / Guida tecnica
Decremento logaritmico: decadimento libero e ipotesi sullo smorzamento
Il decremento logaritmico mette in relazione picchi successivi in un particolare modello di oscillazione smorzata. Il suo vantaggio è che un rapporto tra ampiezze elimina l'ampiezza complessiva incognita. La relazione è significativa solo nella misura in cui sono valide le ipotesi sottostanti di risposta libera, singolo modo e smorzamento; una semplice sequenza di picchi decrescenti non dimostra che tali condizioni siano soddisfatte.
Un rapporto tra picchi rappresenta il decadimento solo con il modello appropriato.
L'equilibrio, la direzione dei picchi e il numero di cicli trascorsi determinano ciò che rappresenta il logaritmo del rapporto tra le ampiezze.
01 / Decadimento libero
Un semplice oscillatore smorzato separa il tasso di decadimento dall'oscillazione.
Considera m ẍ + c ẋ + kx = 0, con m e k costanti e positivi, smorzamento viscoso c positivo e nessuna forzante.
Considerare m ẍ + c ẋ + kx = 0, con m e k costanti positive, smorzamento viscoso c positivo e nessuna forzante. Definire ωn = √(k/m), ζ = c/(2√(km)) e ωd = ωn√(1 − ζ²). Richiedere che ζ sia strettamente compreso tra zero e uno.
Il suo spostamento in regime sottosmorzato è x(t) = A exp(−ζωn t) cos(ωd t + φ). A e φ rappresentano la condizione iniziale. Il fattore esponenziale descrive il decadimento dell'ampiezza, mentre ωd descrive l'oscillazione. Si tratta di termini distinti, non di due denominazioni della stessa frequenza.
02 / Direzione del picco
I picchi successivi corrispondenti sono separati da un ciclo smorzato.
Per questo modello, i picchi successivi nella stessa direzione sono separati da un periodo smorzato Td = 2π/ωd.
Per questo modello, i picchi successivi nello stesso verso sono separati da un periodo smorzato Td = 2π/ωd. Le loro ampiezze sono misurate rispetto all'equilibrio del modello. La fase in corrispondenza degli estremi si ripete a ogni ciclo, quindi il contributo del coseno si semplifica nel rapporto.
Gli estremi positivi e negativi adiacenti sono separati da mezzo ciclo. Calcolare il rapporto tra i loro valori assoluti senza modificare la convenzione sull'intervallo non darebbe lo stesso decremento su un ciclo. Ogni confronto dichiarato tra picchi deve quindi essere accompagnato dalla direzione e dal numero di cicli.
03 / Logaritmo
Il decremento elimina il fattore di ampiezza complessivo.
Definire δ = ln(Ak/Ak+1) per i moduli di picchi successivi nello stesso verso.
Definire δ = ln(Ak/Ak+1) per i moduli di picchi successivi nella stessa direzione. Il modello di decadimento libero dà δ = ζωnTd = 2πζ/√(1 − ζ²). Il rapporto e il logaritmo sono adimensionali, mentre le costanti di tempo e le frequenze mantengono le proprie unità.
Il materiale didattico del MIT presenta la definizione basata sul logaritmo del rapporto tra i picchi e la sua estensione a più cicli. Nel modello dichiarato, un confronto su n cicli dà δ = ln(Ak/Ak+n)/n. Usare un rapporto su più cicli senza dividere per n modifica il decremento rappresentato.
04 / Risultato dell'esempio semplificato
La relazione esatta dello smorzamento differisce da una semplificazione valida per piccoli smorzamenti.
Per picchi ipotetici nello stesso verso di 10 e 8 unità, separati da un ciclo, δ = ln(10/8) ≈ 0.2231.
Per picchi ipotetici nello stesso verso di 10 e 8 unità, separati da un ciclo, δ = ln(10/8) ≈ 0.2231. Riformulando il modello si ottiene ζ = δ/√((2π)² + δ²) ≈ 0.0355. Le unità dei picchi si elidono nel rapporto.
Per ζ sufficientemente piccolo, δ/(2π) approssima ζ perché la correzione dovuta alla radice quadrata è piccola. Questa scorciatoia è un'approssimazione, non la relazione che definisce la grandezza. L'esempio è un oscillatore calcolato; non fornisce alcun rapporto di smorzamento misurato per una pala, una torre o un generatore.
05 / Ipotesi non rispettate
Una traccia che sembra mostrare un decadimento può rappresentare qualcos'altro.
Diversi modi possono sommarsi e annullarsi, producendo battimenti e picchi irregolari.
Diversi modi possono sommarsi e annullarsi, producendo battimenti e picchi irregolari. Un ingresso persistente può modificare l'andamento temporale dell'ampiezza. Uno scostamento del riferimento di equilibrio modifica i rapporti tra i picchi, e valori di picco incerti possono rendere il logaritmo sensibile agli errori.
Anche uno smorzamento non lineare o dipendente dall'ampiezza rende inapplicabile il modello a smorzamento viscoso costante. Il logaritmo può ancora essere calcolato numericamente, ma potrebbe non corrispondere più a un unico ζ costante. Il fatto che un'operazione matematica sia possibile è diverso dal fatto che la sua interpretazione fisica rimanga valida.
06 / Ambito
Un singolo decadimento modale non descrive tutto il comportamento dell'apparecchiatura.
Un rapporto di smorzamento è legato al proprio modello, alle coordinate e alle condizioni di risposta.
Un rapporto di smorzamento è riferito al proprio modello, alle coordinate e alle condizioni di risposta. Non è automaticamente un valore di vita a fatica, un limite di vibrazione o una prova dello stato strutturale. Una forma d'onda operativa che combina più modi non può essere trattata come la risposta libera monomodale dichiarata soltanto perché alcuni picchi diminuiscono.
Non viene dichiarato alcun decremento misurato, rapporto di smorzamento o funzione diagnostica per MARSTON. Questa pagina non include procedure di rilascio, eccitazione, arresto o prova sul campo. Spiega la relazione analitica e le condizioni che rendono significativo un rapporto tra picchi nella stessa direzione.
Guide tecniche correlate: Sovrapposizione modale: coordinate, accoppiamento e troncamento · Spostamento, velocità e accelerazione delle vibrazioni · Smorzamento aerodinamico: lavoro del flusso durante un ciclo di moto.
Informazioni generali: MIT OpenCourseWare: decremento logaritmico e periodo dell'oscillazione smorzata. Questi riferimenti spiegano concetti del settore; sono distinti dai documenti MARSTON di prodotto e di progetto applicabili.
Concetti e condizioni fondamentali.
Leggere ogni grandezza insieme al riferimento, alle unità e alle condizioni dichiarate. Una relazione generale non stabilisce un valore specifico di un modello.
| Concetto / grandezza | Significato / relazione | Condizioni / limiti |
|---|---|---|
| Rapporto di smorzamento ζ | c/(2√(km))—valore senza unità. | Modello lineare costante positivo con risposta sottosmorzata |
| Periodo smorzato Td | 2π/ωd in secondi. | Successivi picchi nella stessa direzione sono separati da un ciclo. |
| Ampiezza di picco Ak | Scostamento dall'equilibrio | Direzione e riferimento coerenti |
| Decremento δ | Logaritmo naturale del rapporto tra picchi separati da un ciclo | Ipotesi di oscillazione libera a un solo modo con smorzamento viscoso costante |
| Rapporto su più cicli | ln(Ak/Ak+n)/n | n è il numero di cicli smorzati trascorsi |
Domande ingegneristiche.
Il decremento si misura in secondi?
No. Si tratta di un logaritmo senza unità, relativo a un rapporto di ampiezza.
Quali picchi successivi definiscono un ciclo?
Picchi nella stessa direzione, misurati rispetto a una posizione di equilibrio di riferimento coerente.
Si può utilizzare la stessa formula per i picchi in direzioni opposte?
Occorre tenere conto della loro separazione di mezzo ciclo; non costituiscono la coppia indicata, separata da un ciclo.
Perché dividere per n un logaritmo calcolato su più cicli?
Il logaritmo si estende su n cicli piuttosto che uno.
Ogni sequenza di picchi decrescenti ha un unico rapporto di smorzamento?
No. Forzanti, modi misti, offset o smorzamento non lineare possono invalidare il modello.
Il risultato del modello semplificato è una misura effettuata su un'apparecchiatura?
No. Ciò deriva da picchi artificiali all'interno di un modello analitico dichiarato.
Richiesta tecnica
Discutere la questione tecnica.
Il decremento logaritmico mette in relazione picchi successivi in un particolare modello di oscillazione smorzata. Condividere il modello e le informazioni operative o di progettazione pertinenti per una discussione tecnica.