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Stima di Kalman: Previsione, Innovazione e Covarianza
La stima di Kalman combina una previsione dinamica con un'osservazione nell'ambito di un modello matematico dichiarato. Mantiene una stima dello stato interno e un modello dell'errore di stima. Una traccia dall'aspetto più regolare non è la sua caratteristica distintiva, e il nome del metodo non può attestare l'accuratezza quando le ipotesi sottostanti sono errate.
Previsione e osservazione portano informazioni diverse.
Segui come la loro differenza entra nella correzione, poi distingui la covarianza modellata dalla certezza delle misure.
01 / Due modelli
Il movimento e l'osservazione hanno relazioni separate.
Un modello lineare discreto di base descrive x[k] a partire dallo stato precedente tramite una matrice di transizione, con un termine di rumore di processo.
Un modello lineare discreto di base descrive x[k] a partire dallo stato precedente tramite una matrice di transizione, con un termine di rumore di processo. Un modello di osservazione trasforma lo stato corrente tramite H in z[k], con un termine separato di rumore di misura.
MathWorks presenta queste relazioni di previsione e correzione. L'incertezza di processo riguarda l'evoluzione dello stato; l'incertezza di misura riguarda l'osservazione riportata. Non sono due etichette per la stessa sorgente di rumore, né sono automaticamente indipendenti in ogni sistema fisico.
02 / Previsione
La stima viene propagata secondo le dinamiche indicate.
Lo stato previsto deriva dalla stima precedente e dagli ingressi noti del modello.
Lo stato previsto deriva dalla stima precedente e dagli ingressi noti del modello. Anche la sua covarianza evolve, includendo il contributo del rumore di processo Q. Questo rappresenta l'incertezza all'interno del modello assunto, anziché nuove informazioni osservate sulla realtà fisica.
Una previsione può mantenere un andamento regolare pur accumulando uno scostamento dovuto a un cambiamento non rappresentato. Viceversa, un aumento dell'incertezza previsto dal modello può essere appropriato anche quando la traccia prevista appare visivamente stabile. La regolarità e un livello di fiducia giustificato rispondono a domande diverse.
03 / Innovazione
La correzione parte dalla differenza tra il valore misurato e quello previsto.
L'innovazione è z−H x_predicted: la differenza tra l'osservazione e la sua misurazione prevista.
L'innovazione è z−H x_predicted: l'osservazione meno la sua misura prevista. Un guadagno trasforma questa differenza nella correzione dello stato. Quando lo stato e l'osservazione hanno unità diverse, tale guadagno deve effettuare la corrispondente conversione dimensionale.
Un'innovazione elevata non indica univocamente un sensore guasto. Può derivare da una discrepanza del modello, da un cambiamento reale, da una distorsione sistematica o da un problema di osservazione. Il guida all'osservabilità spiega perché alcune distinzioni interne non possono essere ricostruite dalle sole uscite scelte.
04 / Esempio scalare
La ponderazione si basa su dati di incertezza ipotetici.
Modello scalare ipotetico: lo stato previsto è 4 unità con una varianza di 4 unità²; un'osservazione indipendente è 6 unità con una varianza di misurazione di 1 unità², e H = 1.
Modello scalare ipotetico: Lo stato previsto è di 4 unità con varianza di 4 unità²; un'osservazione indipendente è di 6 unità con varianza di misura di 1 unità², e H = 1. Il guadagno è 4/(4+1) = 0.8.
La stima corretta è 4+0.8(6−4) = 5.6 unità, con varianza a posteriori modellata (1−0.8)4 = 0.8 unità². Questi valori illustrano un aggiornamento ideale. Non sono impostazioni del filtro, misurazioni del prodotto o prove che l'errore fisico sia ora noto esattamente.
05 / Ipotesi sul rumore
La covarianza descrive la dispersione e la variazione condivisa.
L'interpretazione lineare standard mantiene le medie, le covarianze e le relazioni dichiarate degli errori di processo e di misura.
L'interpretazione lineare standard mantiene le medie, le covarianze e le relazioni dichiarate degli errori di processo e di misura. Gli errori correlati richiedono un modello appropriato; ignorare un disturbo comune può portare a trattare informazioni ripetute come prove indipendenti.
Gli elementi diagonali della matrice di covarianza utilizzano le unità delle rispettive variabili al quadrato; gli elementi fuori diagonale utilizzano i prodotti delle unità corrispondenti. Una varianza non è un intervallo di tolleranza. Una piccola covarianza calcolata può coesistere con una stima fisica affetta da errore sistematico se tale errore è assente dal modello.
06 / Ambito
Una stima basata su un modello non è una soluzione universale al rumore.
La stima di Kalman differisce da una trasformazione passa-basso fissa perché la previsione, la mappatura delle osservazioni e l'incertezza ne regolano la correzione.
La stima di Kalman differisce da una trasformazione passa-basso fissa perché la previsione, la mappatura delle osservazioni e l'incertezza ne governano la correzione. Le dinamiche non lineari, i valori anomali e le osservazioni mancanti sollevano ulteriori questioni di modellazione; le semplici equazioni non le risolvono automaticamente.
Per MARSTON non viene confermato alcun filtro di Kalman, valore di covarianza o miglioramento dell'accuratezza. La spiegazione non fornisce alcuna implementazione, taratura della covarianza o regolazione basata su dati in tempo reale, e non definisce avanzato un controllore non verificato semplicemente nominando un algoritmo.
Guide tecniche correlate: Stati Dinamici e Osservabilità: Cosa possono rivelare le uscite. · Correlazione incrociata: segno del ritardo, somiglianza e ritardo temporale · Misurazione raziometrica: riferimento comune ed errori residui.
Approfondisci l'analisi della stima con distorsione dello stimatore, varianza ed errore quadratico medio, residui dei minimi quadrati ed errori nei dati di ingresso, e residui del modello e cause ambigue.
Informazioni generali: MathWorks: equazioni di previsione lineare, innovazione e covarianza. Questi riferimenti spiegano concetti del settore; sono distinti dai documenti MARSTON di prodotto e di progetto applicabili.
Concetti e condizioni fondamentali.
Leggere ogni grandezza insieme al riferimento, alle unità e alle condizioni dichiarate. Una relazione generale non stabilisce un valore specifico di un modello.
| Concetto / grandezza | Significato / relazione | Condizioni / limiti |
|---|---|---|
| Stato previsto | Stima interna propagata dal modello | Non si tratta di una nuova osservazione diretta. |
| Innovazione | z−H x_predicted | Il suo segno e le sue unità di misura sono espliciti. |
| Q | Covarianza del rumore di processo. | Si applica al modello di evoluzione dello stato indicato. |
| R | Covarianza del rumore di misura | Separato dall'incertezza del processo. |
| Covarianza a posteriori | Dispersione modellata dell'errore di stima | Non un limite garantito dell'errore fisico. |
Domande ingegneristiche.
La stima di Kalman è soltanto uno smussamento?
No. La dinamica, le osservazioni e l'incertezza determinano la correzione.
Un'innovazione significativa rivela la presenza di un sensore difettoso?
Non in modo univoco; possono contribuire diverse cause legate al modello o di natura fisica.
È la covarianza una tolleranza ammissibile?
No. Descrive la dispersione statistica modellata.
Una covarianza piccola può coesistere con un errore sistematico?
Sì, se il modello non riesce a rappresentare quell'errore sistematico.
0.8 e 5.6 sono risultati MARSTON?
No. Derivano da un esempio scalare inventato e indipendente.
Questa pagina prescrive la taratura del filtro?
Non sono fornite né implementazioni né impostazioni di incertezza.
Richiesta tecnica
Discutere la questione tecnica.
La stima di Kalman combina una previsione dinamica con un'osservazione secondo un modello matematico dichiarato. Condividi il modello e le informazioni operative o di progettazione applicabili per una discussione tecnica.