Технологии / Техническое руководство
Нелинейные средние: почему куб среднего меняет результат
Применение нелинейной зависимости до осреднения обычно отличается от её применения к среднему входному значению. Куб скорости ветра подчёркивает различие, но не даёт реальную кривую мощности турбины. Порядок действий, область определения и веса должны сопровождать рассчитываемую величину.
Осреднение и преобразование не обязаны коммутировать.
Сравните два расчёта напрямую, затем рассмотрите математические условия неравенства, а не электрической выработки.
01 / Порядок действий
Фиксированная аффинная зависимость — особый случай.
Для неотрицательных весов w_i с суммой единица μ = Σw_i x_i задаёт взвешенное среднее.
Для неотрицательных весов w_i с суммой единица μ = Σw_i x_i задаёт взвешенное среднее. Фиксированная аффинная зависимость f(x) = ax+b даёт Σw_i f(x_i) = f(μ). Нелинейная f в общем случае не обладает этим тождеством.
Веса описывают представленную величину. Веса длительности относятся к среднему по времени, а равные веса наблюдений дают выборочное среднее. Смена весов меняет оба расчёта, а не только формат представления того же результата.
02 / Пример по времени
Три условные скорости дают разные кубические статистики.
Условные значения равной длительности: 3, 5 и 7 m/s имеют среднее 5 m/s.
Условные значения равной длительности: 3, 5 и 7 m/s имеют среднее 5 m/s. Куб этого среднего равен 125 (m/s)³. Среднее их кубов равно (27+125+343)/3 = 165 (m/s)³.
Разность равна 40 (m/s)³. Это арифметический пример по времени, а не среднее по площади ротора или измерение. Он не устанавливает процентного роста электрической выработки и не описывает площадку или модель MARSTON.
03 / Выпуклость
Неравенство требует соблюдения представленной области определения.
На неотрицательных значениях f(x) = x³ выпукла, поэтому неравенство Йенсена даёт f(μ) ≤ Σw_i f(x_i) при существующих конечных величинах и заданных весах.
На неотрицательных значениях f(x) = x³ выпукла, поэтому неравенство Йенсена даёт f(μ) ≤ Σw_i f(x_i) при существующих конечных величинах и заданных весах. Boyd и Vandenberghe объясняют эту связь для выпуклых функций.
Знаковая компонента скорости может быть отрицательной, а x³ не выпукла на всей вещественной прямой. Поэтому неравенство для неотрицательных скоростей нельзя без изменений переносить на любой знаковый сигнал. Вогнутая функция обращает сравнение при собственных условиях области определения.
04 / Высшие моменты
Дисперсия и асимметрия входят в среднее кубов.
Задайте отклонения d_i = x_i−μ с нулевым взвешенным средним отклонением.
Задайте отклонения d_i = x_i−μ с нулевым взвешенным средним отклонением. Раскрытие (μ+d_i)³ даёт тождество Σw_i x_i³ = μ³+3μσ²+m3, где σ² = Σw_i d_i² и m3 = Σw_i d_i³.
Для трёх условных значений σ² = 8/3 (m/s)² и m3 = 0, поэтому дополнительный член равен 3×5×8/3 = 40 (m/s)³. Одних равных средних недостаточно для определения высших моментов; их единицы также отличаются от единиц среднего.
05 / Другие факторы
Среднее произведения может сохранять совместную изменчивость.
Если зависимость включает меняющуюся плотность ρ, среднее ρx³ обычно не равно произведению средней плотности и среднего кубов.
Если зависимость включает меняющуюся плотность ρ, среднее ρx³ обычно не равно произведению средней плотности и среднего кубов. Разность равна Cov(ρ,x³), если эти взвешенные моменты существуют.
Эта алгебра касается представленных множителей, а не предполагаемого закона характеристик турбины. Аналогично измерительный шум после нелинейного преобразования может изменить среднее: нулевое среднее ошибки не означает автоматически нулевого смещения после преобразования.
06 / Область рассмотрения
Реальная выходная зависимость имеет собственную форму.
Реальная электрическая мощность может зависеть от меняющихся коэффициентов, режимов работы, потерь преобразования и выходных ограничений.
Реальная электрическая мощность может зависеть от меняющихся коэффициентов, режимов работы, потерь преобразования и выходных ограничений. Зависимость не обязана быть глобально выпуклой или просто пропорциональной кубу. Применение неравенства Йенсена требует фактической функции в представленной области определения.
Руководство по распределениям обобщает записи ресурса, а руководство по кривой мощности объясняет подтверждающие данные о мощности. Эта страница даёт математические тождества, а не оценку выработки, закон управления или заявление о характеристиках продукции.
Связанные технические руководства: Плотность воздуха в ветроэнергетике: температура, давление и влажность · Пространственное осреднение на роторе: точечный ветер, среднее по площади и эквивалентная скорость · Мгновенная мощность, накопление и рассеяние в преобразователе.
Общие сведения: Boyd и Vandenberghe: выпуклые функции и неравенство Йенсена. Эти источники объясняют отраслевые принципы и отличаются от применимых документов продукции и проектов MARSTON.
Ключевые понятия и условия.
Рассматривайте каждую величину с её отсчётом, единицами и условиями. Общая зависимость не устанавливает значение для конкретной модели.
| Понятие / величина | Смысл / связь | Условия / пределы |
|---|---|---|
| μ | Σw_i x_i | Веса неотрицательны и в сумме равны единице. |
| Среднее кубов | Σw_i x_i³ | В общем случае отличается от μ³. |
| σ² | Взвешенный второй центральный момент | Единицы равны квадрату входных единиц. |
| m3 | Взвешенный третий центральный момент | Сохраняет знаковую асимметрию и кубические единицы. |
| Сравнение по Йенсену | Выпуклая функция в фактической области определения | Не универсальное неравенство электрической выработки. |
Инженерные вопросы.
Можно ли в общем случае преобразовать лишь среднее входное значение?
Нет, если нужен средний результат нелинейного выхода.
Коммутирует ли фиксированная аффинная зависимость с осреднением?
Да, при заданных общих нормированных весах.
Верно ли кубическое неравенство для всех знаковых значений?
Нет. Нужно сохранять область её выпуклости.
Определяет ли среднее среднее кубов?
Нет. Вклад вносят также дисперсия и третий центральный момент.
Оценивает ли значение 165 выработку?
Нет. Его единицы и назначение относятся к математической статистике куба скорости.
Независимо ли изменение плотности от скорости автоматически?
Нет. Совместная изменчивость может сохраняться через их ковариацию.
Технический запрос
Обсудите технический вопрос.
Применение нелинейной зависимости до осреднения обычно отличается от её применения к среднему входному значению. Предоставьте модель и применимые эксплуатационные или проектные сведения для инженерного обсуждения.