技術 / テクニカルガイド

振動の変位・速度・加速度

変位、速度、加速度は、同じ運動の異なる側面を表します。それぞれ単位が異なり、ピークは異なる位相で生じ、振幅の周波数依存性も異なります。したがって、振動値は、それが表す物理量、周波数成分、および振幅の定義が示されなければ不完全です。

同じ動きは、非常に異なる数値を生み出すことができます。

単一の正弦波では明確な関係が得られますが、広帯域信号を任意の一つの周波数で変換することはできません。

01 / 運動モデル

正弦波には振幅と時間スケールが必要です。

x(t) = A cos(ωt) を考えます。ここで、x はメートル単位の変位、A はそのピーク振幅、ω は rad/s 単位の角周波数です。

x(t) = A cos(ωt) を考えます。ここで、xはメートル単位の変位、Aはそのピーク振幅、ωはrad/s単位の角周波数です。ヘルツ単位の周波数は f = ω/(2π) です。この余弦基準では、t = 0 で正の変位が最大になります。

OpenStaxは、単振動における変位、速度、加速度の関係を説明しています。ここでの正弦波は、数学的な例として明示されたものです。実際の振動構造物には、この単一の式に従わない複数の周波数、変動する振幅、およびオフセットが含まれる場合があります。

02 / 微分

速度と加速度では、周波数に対する重み付けが異なります。

微分すると、v(t) = −Aω sin(ωt) および a(t) = −Aω² cos(ωt) が得られます。

微分すると v(t) = −Aω sin(ωt) および a(t) = −Aω² cos(ωt) が得られます。速さのピーク値は Aω、加速度の大きさのピーク値は Aω² です。それぞれの単位は m/s と m/s² であり、変位の別の単位表記ではありません。

この例では、加速度の符号は変位と反対です。速度は変位が最大のときにゼロとなり、変位がゼロのときに大きさが最大となります。この位相関係により、三つの量は同じ正弦波運動を表していても、正のピークに同時には達しません。

03 / 説明用の仮の値

単位と周波数によって、数値の比較が決まります。

仮に A = 0.001 m および f = 5 Hz とすると、ω ≈ 31.416 rad/s となります。

仮に A = 0.001 m、f = 5 Hz とすると、ω ≈ 31.416 rad/s となります。変位のピーク値は1 mm、速度のピーク値は約0.0314 m/s、加速度のピーク値は約0.987 m/s²です。これらは仮定した正弦波から算出した値です。

Aを維持したまま周波数を二倍にすると、速度のピーク値は二倍、加速度のピーク値は四倍になります。この変化に変位の増大は必要ありません。このため、振幅が似ている二つの変位波形でも、加速度の大きさは大幅に異なる場合があります。

04 / RMS の意味

ピーク値と実効値（RMS）の関係は、波形の条件に依存します。

ゼロオフセットの各正弦波について、完全な周期にわたるRMSは、そのピーク値の大きさを√2で割った値に等しくなります。

オフセットがゼロの各正弦波について、完全な周期にわたるRMSは、ピーク振幅を√2で割った値に等しくなります。したがって、この簡略例の速度RMSは約 0.0222 m/s、加速度RMSは約 0.698 m/s² です。この計算では、記載された純粋な波形と平均化区間を用いています。

完全な周期を含まない有限の時間区間では、異なる値が得られることがあります。オフセットもRMSを変化させ、波形のひずみはピーク値とRMSの関係を変えます。√2を普遍的な振動の換算係数として示すと、これらの条件を省くことになります。

05 / 広帯域の運動

成分ごとに、それぞれに応じた周波数重み付けが必要です。

複数のサイン波の合計について、それぞれの要素に微分が適用されます。

正弦波の和では、各成分に微分が適用されます。周波数の高い変位成分ほど、速度と加速度への重みが大きくなります。広帯域の変位全体のRMSに、選択した一つの角周波数を掛けても、一般には対応する速度RMSを再現できません。

定常性および過程の微分可能性に関する適切な仮定の下では、微分によって得られるパワースペクトルは、変位に対して速度では ω²、加速度では ω⁴ の重み付けを持ちます。各スペクトルを対象帯域幅にわたって積分すると、対応する平均二乗値が得られます。したがって、広帯域での比較には帯域幅も含める必要があります。

06 / 対象範囲

積分しても、初期条件に関する情報は未確定のまま残ります。

加速度を積分して得られる速度は、初期速度を与えない限り一意に定まりません。さらに積分するには、初期変位も必要です。

加速度を積分して速度を求めるには初期速度が必要であり、さらに積分するには初期変位も必要です。測定オフセットによって、積分後に増大する項が生じることがあります。こうした数学的な不定性は、積分で得た量だけ構造物が実際に移動したと証明することとは異なります。

MARSTONの振動限界、センサー精度、または振動監視機能は規定していません。このページは、ライブデータの統合手順やセンサーの調整手順を示していません。どの振幅も許容可能または異常と判定せず、物理量間の関係と、その関係が成り立つ波形条件を説明しています。

一般的な背景情報： OpenStax College Physics：調和運動の運動学。これらの参考資料は業界の考え方を説明するものであり、適用するMARSTONの製品資料やプロジェクト資料とは別のものです。

主な概念と条件。

各量を、その基準、単位、明示された条件と一緒に読んでください。一般的な関係から、特定モデルの値が確定するわけではありません。

概念 / 量	意味 / 関係	条件 / 限界
変位	メートル、または記載された長さの単位	基準位置とピーク値/RMS値の表記規約
速度	m/s; 正弦波のピーク値 Aω	定義された周波数と、微分可能な動き
加速度	m/s²; 正弦波のピーク値 Aω²	同じサイン波のモデルと、角周波数。
RMS	二乗平均平方根量	波形、オフセット、および平均化区間を明記
広帯域変換	成分に応じた周波数重み付け	単一の任意な周波数だけでは、全体の信号を表現することはできません。