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非線形平均：平均値の三乗では結果が変わる理由

平均を取る前に非線形の関係を適用することは、平均入力に適用することと一般に異なります。風速の数学では三乗がその違いを明確にしますが、実際の風車の出力曲線を与えるものではありません。計算する量には、演算順序、定義域、重みを常に対応付ける必要があります。

平均と変換は、順序を入れ替えて同じ結果になるとは限りません。

二つの計算を直接比べ、どの数学的条件によって、不等式が成り立つのかを確認します。電気的な発電量を求めるものではありません。

01 / 演算順序

合計が一の非負の重み w_i に対して、μ = Σw_i x_i が重み付き平均を定義します。

合計が一の非負の重み w_i に対して、μ = Σw_i x_i が重み付き平均を定義します。固定したアフィン関係 f(x) = ax+b では、Σw_i f(x_i) = f(μ) です。非線形な f には、一般にこの恒等式は成り立ちません。

重みは、表そうとする量を定めます。継続時間による重みは時間平均に対応し、観測ごとの重みが同じなら標本平均になります。重みを変えると両方の計算が変わります。同じ結果の表示形式だけを変えることではありません。

02 / 時間の例

同じ継続時間を持つ仮定上の値： 3, 5 と 7 m/s の平均は 5 m/s です。

同じ継続時間を持つ仮定上の値： 3, 5 と 7 m/s の平均は 5 m/s です。その平均を三乗すると 125 (m/s)³ です。各値を三乗して平均すると (27+125+343)/3 = 165 (m/s)³ です。

差は 40 (m/s)³ です。これは時間に関する算術上の例であり、ローター面の平均でも測定値でもありません。発電量の増加率を示さず、MARSTONの実際の設置地点やモデルを記述するものでもありません。

03 / 凸性

非負の値では f(x) = x³ は凸なので、Jensenの不等式から、存在する有限の量と明示した重みについて f(μ) ≤ Σw_i f(x_i) が得られます。

非負の値では f(x) = x³ は凸なので、Jensenの不等式から、存在する有限の量と明示した重みについて f(μ) ≤ Σw_i f(x_i) が得られます。BoydとVandenbergheは、この凸関数の関係を説明しています。

符号付き速度成分は負になることがあり、x³ は実数直線全体では凸ではありません。そのため、非負の速さについての不等式を、そのまま全ての符号付き信号に当てはめることはできません。凹関数では、その定義域の条件の下で対応する大小関係が逆になります。

04 / 高次モーメント

偏差を d_i = x_i−μ とし、その重み付き平均がゼロであるとします。

偏差を d_i = x_i−μ とし、その重み付き平均がゼロであるとします。(μ+d_i)³ を展開すると、Σw_i x_i³ = μ³+3μσ²+m3 という恒等式を得ます。ここで σ² = Σw_i d_i²、m3 = Σw_i d_i³ です。

架空の三つの値では、σ² = 8/3 (m/s)²、m3 = 0 であるため、追加項は 3×5×8/3 = 40 (m/s)³ です。平均が同じだけでは、これらの高次モーメントは特定できません。単位も平均の単位とは異なります。

05 / その他の要因

対象の関係に変化する密度 ρ も含まれる場合、ρx³ の平均は一般に、平均密度と三乗の平均の積とは異なります。

対象の関係に変化する密度 ρ も含まれる場合、ρx³ の平均は一般に、平均密度と三乗の平均の積とは異なります。これらの重み付きモーメントが存在する場合、その差は Cov(ρ,x³) です。

この代数は、対象とする因子についてのものであり、仮定した風車性能則についてのものではありません。同様に、測定ノイズを非線形変換に通すと、その平均が変わる場合があります。平均ゼロの誤差でも、変換後の偏りが自動的にゼロになるわけではありません。

06 / 対象範囲

実際の電力出力には、変わる係数、運転状態、変換損失、出力制限が関係する場合があります。

実際の電力出力には、変わる係数、運転状態、変換損失、出力制限が関係する場合があります。その関係が定義域全体で凸であるとも、単に三乗に比例するとも限りません。Jensenの不等式の適用には、対象の定義域における実際の関数が必要です。

参考資料の分布のガイドは風資源の記録を要約し、出力曲線ガイドは出力の根拠を説明します。このページが示すのは数学的な恒等式であり、発電量推定、制御則、製品性能の主張ではありません。

一般的な背景情報： BoydとVandenberghe：凸関数とJensenの不等式。これらの参考資料は業界の考え方を説明するものであり、適用するMARSTONの製品資料やプロジェクト資料とは別のものです。

各量を、その基準、単位、明示された条件と一緒に読んでください。一般的な関係から、特定モデルの値が確定するわけではありません。

概念 / 量	意味 / 関係	条件 / 限界
μ	Σw_i x_i	重みは非負で、合計は一です。
三乗の平均	Σw_i x_i³	一般に μ³ とは異なります。
σ²	重み付き二次中心モーメント	単位は、入力の単位の二乗です。
m3	重み付き三次中心モーメント	符号のある非対称性と三乗の単位を保持します。
Jensenによる比較	実際の定義域で凸な関数	電気的な発電量について普遍的に成り立つ不等式ではありません。