Tecnologia / Guida tecnica
Derivate numeriche: pendenza del segnale e amplificazione del rumore
La derivazione stima quanto rapidamente cambia una grandezza. Modifica anche il contributo degli errori di misura: le letture vicine vengono sottratte e poi divise per un intervallo di tempo. Una derivata dall'aspetto più netto non è quindi automaticamente una rappresentazione migliore della variazione sottostante. Il rumore, la correlazione e l'errore di approssimazione contribuiscono tutti.
La pendenza utilizza una differenza e una scala temporale.
L'incertezza di una derivata non può essere dedotta dall'incertezza di una singola lettura senza descrivere la relazione tra gli errori successivi.
01 / Differenza
Una pendenza discreta è una stima su un intervallo.
Per letture y[n] separate da Ts secondi, si calcola una differenza in avanti: d̂[n] = (y[n+1] − y[n])/Ts.
Per letture y[n] separate da Ts secondi, una differenza in avanti è d̂[n] = (y[n+1] − y[n])/Ts. Se y è misurato in metri, il risultato è espresso in m/s. L'intervallo tra le letture fa parte dell'espressione, anziché essere una conversione facoltativa per la visualizzazione.
Se il segnale sottostante è regolare, questo quoziente tende a una derivata al diminuire dell'intervallo. Con una spaziatura finita, rappresenta una pendenza media sull'intervallo. Assegnare quel valore all'inizio, al centro o alla fine ne modifica l'interpretazione temporale.
02 / Modello di errore
La sottrazione combina due errori con la loro covarianza.
Scrivi ogni lettura come il suo valore vero più un errore ε.
Scrivere ogni lettura come il suo valore vero più un errore ε. L'errore della derivata è (ε[n+1] − ε[n])/Ts. Con uguale varianza dell'errore σ² e covarianza c tra campioni adiacenti, la sua varianza è (2σ² − 2c)/Ts². Queste ipotesi devono accompagnare il risultato.
Per errori adiacenti indipendenti, c è zero e la deviazione standard diventa √2 σ/Ts. Una correlazione positiva riduce l'errore della differenza rispetto a quel modello indipendente; una correlazione negativa lo aumenta. Di conseguenza, la sola ampiezza del rumore di un singolo canale non determina l'incertezza della derivata.
03 / Calcolo esemplificativo semplificato
Un intervallo più breve può aumentare il rumore della pendenza.
Supponiamo, solo a titolo illustrativo, che gli errori di lettura indipendenti abbiano una deviazione standard di 0.1 unità per entrambe le spaziature.
Supponiamo, solo a titolo illustrativo, che gli errori di lettura indipendenti abbiano una deviazione standard di 0.1 unità per entrambi gli intervalli di campionamento. Con Ts = 0.2 s, la deviazione standard dell'errore sulla pendenza è di circa 0.707 unità/s. Con Ts = 0.1 s, diventa circa 1.414 unità/s.
Questo confronto mantiene invariata l'incertezza di ciascuna lettura. Non stabilisce come l'incertezza di un sensore reale cambi con il campionamento, la media o la larghezza di banda. Modificare il modello di acquisizione può cambiare sia σ sia la correlazione, quindi il calcolo non costituisce una regola universale di campionamento.
04 / Ponderazione in frequenza
La differenziazione attribuisce maggiore importanza alla variazione rapida.
MathWorks spiega perché una derivata basata sulle differenze rende più evidente la componente rumorosa del segnale.
MathWorks spiega perché una derivata basata sulle differenze rende più evidente il contenuto rumoroso del segnale. Per la differenza discreta scelta, la risposta in modulo è 2|sin(Ω/2)|/Ts, dove Ω è la frequenza angolare in radianti per campione. In prossimità della frequenza zero, essa approssima la derivazione continua.
La risposta discreta limitata non deve essere confusa con un'estensione illimitata a frequenza continua. Le frequenze già indistinguibili dopo il campionamento non possono essere recuperate mediante derivazione. Una derivata opera sulla rappresentazione disponibile, comprese le informazioni mancanti o rappresentate in modo errato.
05 / Errori concorrenti
Il rumore e l'approssimazione a passo finito sono termini distinti.
Un segnale curvo non presenta una pendenza costante lungo l'intervallo.
Un segnale curvilineo non ha una pendenza costante nell'intervallo. Una spaziatura finita può quindi introdurre un errore di approssimazione anche quando le letture non contengono rumore. Ridurre la spaziatura può ridurre questo errore se la funzione sottostante è sufficientemente regolare.
Nel frattempo, il rumore indipendente delle letture viene diviso per quella spaziatura più piccola. Questi effetti possono agire in direzioni opposte. Un offset comune costante si annulla in una differenza, ma un offset soggetto a deriva non necessariamente si annulla. Eliminare un tipo di errore non dimostra che la derivata sia priva di distorsione.
06 / Ambito
Una grandezza derivata non è un'impostazione del controllore.
Le derivate di ordine superiore comportano ulteriori differenze e una maggiore dipendenza dalla temporizzazione e dalla regolarità.
Le derivate di ordine superiore comportano ulteriori differenze e una maggiore dipendenza dalla temporizzazione e dalla regolarità. Richiedono un proprio modello di errore. Anche una pendenza calcolata numericamente differisce dal termine derivativo all'interno di un'architettura completa di retroazione, che presenta relazioni e vincoli aggiuntivi.
Non sono specificati alcun metodo di differenziazione MARSTON, livello di rumore o comportamento del controllo derivativo. Questa pagina non contiene trasformazioni di dati in tempo reale, tarature dei filtri o regolazioni dei sensori; spiega le conseguenze matematiche di un rapporto incrementale dichiarato.
Guide tecniche correlate: Distorsione, varianza ed errore quadratico medio di uno stimatore · Adattamento ai minimi quadrati: residui, pesi ed errori in ingresso · Spostamento, velocità e accelerazione delle vibrazioni.
Informazioni generali: MathWorks: derivazione del segnale e rumore di misura. Questi riferimenti spiegano concetti del settore; sono distinti dai documenti MARSTON di prodotto e di progetto applicabili.
Concetti e condizioni fondamentali.
Leggere ogni grandezza insieme al riferimento, alle unità e alle condizioni dichiarate. Una relazione generale non stabilisce un valore specifico di un modello.
| Concetto / grandezza | Significato / relazione | Condizioni / limiti |
|---|---|---|
| Intervallo Ts | Secondi tra le letture rappresentate. | Utilizza la temporizzazione effettiva del modello anziché una frequenza di visualizzazione presunta |
| Unità della pendenza | Unità della grandezza divisa per secondi | La derivazione comporta un cambiamento della dimensione fisica |
| Varianza di lettura σ² | Unità di ingresso al quadrato. | Definito per il processo di errore indicato. |
| Covarianza tra campioni adiacenti c | Variazione condivisa tra errori. | L'indipendenza non può essere presunta da semplici date/orari separati. |
| Errore di approssimazione. | Differenza tra pendenza su un intervallo e derivata | Dipende dalla regolarità e dal posizionamento dell'intervallo |
Domande ingegneristiche.
Una frequenza di campionamento più elevata migliora sempre una derivata?
No. Il risultato dipende dall'intervallo tra le letture, dall'incertezza di ciascuna lettura e dalla correlazione.
Perché un offset fisso viene annullato?
Lo stesso offset aggiuntivo appare con segni opposti nella differenza.
Si annulla anche un offset soggetto a deriva?
Generalmente no; la sua variazione contribuisce alla pendenza stimata.
La derivazione può recuperare informazioni soggette ad aliasing?
No. Non può invertire la perdita di informazioni già presente nelle letture campionate.
L'errore della derivata è sempre √2 σ/Ts?
Solo per gli errori adiacenti indipendenti e con uguale varianza indicati.
È consigliata un'impostazione del termine derivativo del PID?
No. Questa pagina riguarda la matematica delle differenze finite, non modifiche al controllo sul campo.
Richiesta tecnica
Discutere la questione tecnica.
La derivazione stima la rapidità con cui varia una grandezza. Condividi il modello e le informazioni operative o di progettazione applicabili per una discussione tecnica.