Tecnología / Guía técnica
Estimación de Kalman: predicción, innovación y covarianza
La estimación de Kalman combina una predicción dinámica con una observación bajo un modelo matemático especificado. Mantiene una estimación del estado interno y un modelo del error de estimación. Una curva de aspecto más suave no es su rasgo definitorio, y el nombre del método no puede establecer la exactitud cuando los supuestos subyacentes son incorrectos.
La predicción y la observación ofrecen información distinta.
Sigue cómo se incorpora su diferencia a la corrección y después distingue la covarianza modelada de la certeza medida.
01 / Dos modelos.
El movimiento y la observación tienen relaciones independientes.
Un modelo lineal discreto básico describe x[k] desde el estado anterior a través de una matriz de transición, con un término de ruido del proceso.
Un modelo lineal discreto básico describe x[k] a partir del estado anterior mediante una matriz de transición, con un término de ruido de proceso. Un modelo de observación transforma el estado actual mediante H en z[k], con un término independiente de ruido de medición.
MathWorks presenta estas relaciones de predicción y corrección. La incertidumbre del proceso se refiere a la evolución del estado; la incertidumbre de la medición se refiere a la observación comunicada. No son dos etiquetas para la misma fuente de ruido, ni son automáticamente independientes en todos los sistemas físicos.
02 / Predicción
La estimación evoluciona según la dinámica indicada.
El estado predicho se deriva de la estimación anterior y de las entradas conocidas del modelo.
El estado predicho se deriva de la estimación anterior y de las entradas conocidas del modelo. Su covarianza también evoluciona, incluida la contribución del ruido del proceso Q. Esto representa la incertidumbre dentro del modelo supuesto, en lugar de información recién observada sobre la realidad física.
Una predicción puede seguir siendo suave mientras se desvía debido a un cambio no representado. Por el contrario, un aumento de la incertidumbre previsto por el modelo puede ser adecuado incluso cuando la curva predicha es visualmente estable. La suavidad y la confianza justificada responden a preguntas diferentes.
03 / Innovación
La corrección parte de la diferencia entre lo medido y lo predicho.
La innovación es z−H x_predicted: la observación menos su medida predicha.
La innovación es z−H x_predicted: la observación menos su medida predicha. Una ganancia transforma esta diferencia en la corrección del estado. Cuando el estado y la observación tienen unidades diferentes, esa ganancia debe realizar la conversión dimensional correspondiente.
Una innovación de gran magnitud no indica exclusivamente un fallo del sensor. Puede deberse a un desajuste del modelo, un cambio real, un sesgo o un problema de observación. El guía de observabilidad explica por qué algunas distinciones internas no pueden recuperarse únicamente a partir de las salidas elegidas.
04 / Ejemplo escalar
El sistema de ponderación se basa en entradas de incertidumbre inventadas.
Modelo escalar hipotético: el estado predicho es de 4 unidades con una varianza de 4 unidades²; una observación independiente es de 6 unidades con una varianza de medición de 1 unidad², y H = 1.
Modelo escalar hipotético: El estado predicho es de 4 unidades con una varianza de 4 unidades²; una observación independiente es de 6 unidades con una varianza de medición de 1 unidad², y H = 1. La ganancia es 4/(4+1) = 0.8.
La estimación corregida es 4+0.8(6−4) = 5.6 unidades, con varianza posterior modelada (1−0.8)4 = 0.8 unidades². Estos valores ilustran una actualización ideal. No son ajustes de filtro, medidas del producto ni pruebas que demuestren que el error físico es ahora exactamente conocido.
05 / Suposiciones sobre el ruido.
La covarianza describe la dispersión y la variación compartida.
La interpretación lineal estándar conserva las medias, las covarianzas y las relaciones declaradas de los errores de proceso y de medición.
La interpretación lineal estándar conserva las medias, las covarianzas y las relaciones declaradas de los errores de proceso y de medición. Los errores correlacionados requieren su modelo adecuado; ignorar una perturbación común puede llevar a tratar información repetida como evidencia independiente.
Los elementos diagonales de la matriz de covarianza utilizan las unidades de sus variables al cuadrado; los elementos no diagonales utilizan productos de las unidades correspondientes. Una varianza no es una envolvente de tolerancia. Una covarianza calculada pequeña puede coexistir con una estimación física sesgada si ese sesgo no está presente en el modelo.
06 / Alcance
Una estimación basada en un modelo no es una solución universal para el ruido.
La estimación de Kalman difiere de una transformación de paso bajo fija porque la predicción, el mapeo de observaciones y la incertidumbre rigen su corrección.
La estimación de Kalman difiere de una transformación de paso bajo fija porque la predicción, el mapeo de observaciones y la incertidumbre rigen su corrección. Las dinámicas no lineales, los valores atípicos y las observaciones faltantes plantean preguntas adicionales en cuanto a modelado; las ecuaciones simples no resuelven estas cuestiones por sí mismas.
No se confirma para MARSTON ningún filtro de Kalman, valor de covarianza ni mejora de precisión. La explicación no proporciona ninguna implementación, ajuste de covarianza ni ajuste con datos en tiempo real, y no califica de avanzado a un controlador no verificado simplemente por nombrar un algoritmo.
Guías técnicas relacionadas: Estados Dinámicos y Observabilidad: Qué pueden revelar las salidas. · Correlación cruzada: Signo de retardo, similitud y retraso temporal. · Medición ratiométrica: referencia común y errores residuales.
Amplía la revisión de la estimación con sesgo, varianza y error cuadrático medio del estimador, residuos de mínimos cuadrados y errores de entrada., y residuos del modelo y causas ambiguas.
Trasfondo general: MathWorks: Ecuaciones de predicción lineal, innovación y covarianza. Estas referencias explican conceptos del sector; son independientes de los documentos aplicables del producto y del proyecto MARSTON.
Conceptos y condiciones principales.
Lea cada cantidad con su referencia, unidades y condiciones especificadas. Una relación general no establece un valor específico para un modelo.
| Concepto / magnitud | Significado / relación | Condiciones / límites |
|---|---|---|
| Estado previsto | Estimación interna propagada mediante el modelo | No es una nueva observación directa. |
| Innovación | z−H x_predicted | Su signo y sus unidades de medida son explícitos. |
| Q | Covarianza de ruido del proceso. | Se aplica al modelo de evolución del estado especificado. |
| R | Covarianza del ruido de medición | Distinguir de la incertidumbre del proceso. |
| Covarianza posterior | Dispersión modelizada del error de estimación | No es una cota garantizada del error físico. |
Preguntas de ingeniería.
¿La estimación de Kalman es simplemente suavización?
No. La dinámica, las observaciones y la incertidumbre determinan la corrección.
¿Una gran innovación revela un sensor defectuoso?
No de forma unívoca; pueden contribuir varias causas del modelo o causas físicas.
¿Es la covarianza una tolerancia permitida?
No. Describe la dispersión estadística modelada.
¿Puede una pequeña covarianza coexistir con sesgo?
Sí, si el modelo no representa ese sesgo.
¿Son 0.8 y 5.6 resultados de MARSTON?
No. Se derivan de un ejemplo escalar inventado e independiente.
¿Prescribe esta página el ajuste del filtro?
No se proporciona ninguna implementación ni configuración de incertidumbre.
Consulta técnica
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La estimación de Kalman combina una predicción dinámica con una observación bajo un modelo matemático establecido. Comparte el modelo y la información relevante sobre operación o diseño para una discusión de ingeniería.