Tecnología / Guía técnica
Derivadas numéricas: pendiente de la señal y amplificación del ruido
La derivación estima la rapidez con la que cambia una magnitud. También modifica la contribución de los errores de medición: se restan lecturas cercanas y después se divide el resultado por un intervalo de tiempo. Por tanto, una derivada de aspecto más definido no representa automáticamente mejor el cambio subyacente. El ruido, la correlación y el error de aproximación intervienen en el resultado.
La pendiente utiliza una diferencia y una escala de tiempo.
La incertidumbre de una derivada no puede inferirse a partir de la incertidumbre de una lectura sin describir cómo se relacionan los errores sucesivos.
01 / Diferencia
Una pendiente discreta es una estimación sobre un intervalo.
Para lecturas y[n] separadas por Ts segundos, una diferencia hacia adelante es d̂[n] = (y[n+1] − y[n])/Ts.
Para lecturas y[n] separadas por Ts segundos, una diferencia hacia adelante es d̂[n] = (y[n+1] − y[n])/Ts. Si y se mide en metros, el resultado se expresa en m/s. El intervalo de lectura forma parte de la expresión, en lugar de ser una conversión opcional para la visualización.
Una señal subyacente suave hace que este cociente se aproxime a una derivada a medida que el intervalo se hace pequeño. Con una separación finita, representa una pendiente media a lo largo del intervalo. Asignar ese valor al principio, al centro o al final cambia su interpretación temporal.
02 / Modelo de error
La resta combina dos errores con su covarianza.
Escribe cada lectura como su valor real más un error ε.
Exprese cada lectura como su valor verdadero más un error ε. El error de la derivada es (ε[n+1] − ε[n])/Ts. Con igual varianza del error σ² y covarianza c entre errores vecinos, su varianza es (2σ² − 2c)/Ts². Estos supuestos deben acompañar al resultado.
Para errores independientes entre muestras adyacentes, c es cero y la desviación estándar pasa a ser √2 σ/Ts. La correlación positiva reduce el error de la diferencia respecto a ese modelo independiente; la correlación negativa lo aumenta. Por consiguiente, la amplitud del ruido de un solo canal no determina por sí sola la incertidumbre de la derivada.
03 / Cálculo simplificado
Un intervalo más corto puede aumentar el ruido de la pendiente.
Supongamos, solo a modo ilustrativo, que los errores de lectura independientes tienen una desviación estándar de 0.1 unidad con cualquiera de los dos espaciados.
Supongamos, solo a modo de ilustración, que los errores de lectura independientes tienen una desviación estándar de 0.1 unidad con cualquiera de los dos intervalos. Con Ts = 0.2 s, la desviación estándar del error de pendiente es de aproximadamente 0.707 unidad/s. Con Ts = 0.1 s, pasa a ser de aproximadamente 1.414 unidad/s.
Esta comparación mantiene la incertidumbre por lectura sin cambios. No establece cómo la incertidumbre de un sensor real cambia con la frecuencia de muestreo, el promedio o el ancho de banda. Modificar el modelo de adquisición puede alterar tanto σ como la correlación, por lo que el cálculo no es una regla de muestreo universal.
04 / Ponderación en frecuencia
La diferenciación otorga mayor importancia a la variación rápida.
MathWorks explica por qué una derivada basada en diferencias hace que el contenido de señales ruidosas sea más prominente.
MathWorks explica por qué una derivada basada en diferencias hace más prominente el contenido de ruido de la señal. Para la diferencia discreta elegida, la respuesta en magnitud es 2|sin(Ω/2)|/Ts, donde Ω es la frecuencia angular en radianes por muestra. Cerca de la frecuencia cero, se aproxima a la derivación continua.
La respuesta discreta acotada no debe confundirse con una extensión ilimitada en frecuencia continua. Las frecuencias que ya son indistinguibles después del muestreo no pueden recuperarse mediante diferenciación. Una derivada opera sobre la representación disponible, incluida la información que falta o está representada incorrectamente.
05 / Errores en competencia
El ruido y la aproximación con espaciado finito son términos distintos.
Una señal curva no presenta una pendiente constante a lo largo del intervalo.
Una señal curva no presenta una pendiente constante a lo largo del intervalo. La separación finita puede introducir errores de aproximación, incluso cuando las lecturas no contienen ruido. Reducir el espaciado puede disminuir este error para una función subyacente suficientemente suave.
Mientras tanto, el ruido independiente de las lecturas se divide por esa separación menor. Estos efectos pueden actuar en direcciones opuestas. Un desplazamiento común constante se cancela al calcular una diferencia, pero uno que varía con el tiempo no necesariamente se cancela. Eliminar un tipo de error no demuestra que la derivada sea insesgada.
06 / Alcance
Una magnitud derivada no es un ajuste del controlador.
Las derivadas de orden superior implican diferencias sucesivas y una mayor dependencia de la temporización y de la suavidad.
Las derivadas de orden superior implican diferencias sucesivas y una mayor dependencia de la temporización y la suavidad. Requieren su propio modelo de error. Una pendiente numérica también difiere del término derivativo dentro de una arquitectura completa de realimentación, que tiene relaciones y restricciones adicionales.
No se especifican ningún método de diferenciación, nivel de ruido ni comportamiento del control derivativo de MARSTON. Esta página no contiene transformaciones de datos en tiempo real, sintonización de filtros ni ajustes de sensores; explica las consecuencias matemáticas de un cociente de diferencias declarado.
Guías técnicas relacionadas: Sesgo, varianza y error cuadrático medio de un estimador · Ajuste por mínimos cuadrados: residuos, pesos y errores de entrada · Desplazamiento, velocidad y aceleración de la vibración.
Trasfondo general: MathWorks: diferenciación de señales y ruido de medición. Estas referencias explican conceptos del sector; son independientes de los documentos aplicables del producto y del proyecto MARSTON.
Conceptos y condiciones principales.
Lea cada cantidad con su referencia, unidades y condiciones especificadas. Una relación general no establece un valor específico para un modelo.
| Concepto / magnitud | Significado / relación | Condiciones / límites |
|---|---|---|
| Intervalo Ts | Segundos entre lecturas representadas. | Utilice la temporización real del modelo en lugar de una frecuencia de visualización supuesta |
| Unidades de pendiente | Unidad de la magnitud dividida por segundos | Un cambio en la dimensión física acompaña la diferenciación. |
| Varianza de la lectura σ² | Unidades de entrada al cuadrado. | Definido para el proceso de error especificado. |
| Covarianza entre vecinos c | Variación compartida entre errores. | No puede suponerse independencia a partir de marcas de tiempo distintas. |
| Error de aproximación. | Diferencia entre la pendiente de intervalo y la derivada. | Depende de la suavidad y de la ubicación del intervalo |
Preguntas de ingeniería.
¿Una frecuencia de muestreo mayor siempre mejora una derivada?
No. El resultado depende del espaciado, la incertidumbre por lectura y la correlación.
¿Por qué un desplazamiento fijo se cancela?
El mismo desplazamiento aditivo aparece con signos opuestos en la diferencia.
¿También se cancela un desplazamiento que varía con el tiempo?
Generalmente no; su cambio contribuye a la pendiente estimada.
¿Puede la derivación recuperar información afectada por aliasing?
No. No puede revertir la pérdida de información que ya existe en las lecturas muestreadas.
¿Es el error de la derivada siempre √2 σ/Ts?
Solo para los errores de muestras vecinas independientes y de igual varianza especificados.
¿Se recomienda un ajuste del término derivativo del PID?
No. Esta página trata sobre las matemáticas de las diferencias finitas, no sobre modificaciones del control en campo.
Consulta técnica
Comenta la cuestión técnica.
La derivación estima con qué rapidez cambia una magnitud. Comparte el modelo y la información aplicable de funcionamiento o diseño para un análisis de ingeniería.