Tecnología / Guía técnica
Medias no lineales: por qué elevar la media al cubo cambia el resultado
Aplicar una relación no lineal antes de promediar suele diferir de aplicarla a una entrada media. En las matemáticas de la velocidad del viento, el cubo destaca esa diferencia, pero no proporciona una curva de potencia real de una turbina. El orden de las operaciones, el dominio y los pesos deben acompañar siempre a la magnitud calculada.
Promediar y transformar no siempre conmutan.
Compare directamente los dos cálculos y después examine qué condiciones matemáticas establecen una desigualdad en lugar de una producción eléctrica.
01 / Orden de las operaciones
Una relación afín fija es un caso especial.
Para pesos no negativos w_i que suman uno, μ = Σw_i x_i define una media ponderada.
Para pesos no negativos w_i que suman uno, μ = Σw_i x_i define una media ponderada. Una relación afín fija f(x) = ax+b da Σw_i f(x_i) = f(μ). Una f no lineal no comparte, en general, esa identidad.
Los pesos describen la magnitud representada. Los pesos de duración corresponden a una media temporal, mientras que pesos iguales para las observaciones dan una media muestral. Cambiar esos pesos modifica ambos cálculos; no es simplemente otro formato de presentación del mismo resultado.
02 / Ejemplo temporal
Tres velocidades inventadas dan estadísticas cúbicas distintas.
Valores hipotéticos de igual duración: 3, 5 y 7 m/s tienen una media de 5 m/s.
Valores hipotéticos de igual duración: 3, 5 y 7 m/s tienen una media de 5 m/s. Elevar esa media al cubo da 125 (m/s)³. Promediar sus cubos da (27+125+343)/3 = 165 (m/s)³.
La diferencia es 40 (m/s)³. Es un ejemplo aritmético temporal, no una media del área del rotor ni una medición. No establece ningún porcentaje de aumento de producción eléctrica ni describe un emplazamiento o modelo de MARSTON.
03 / Convexidad
La desigualdad requiere el dominio representado.
Para valores no negativos, f(x) = x³ es convexa, por lo que la desigualdad de Jensen da f(μ) ≤ Σw_i f(x_i), si existen las magnitudes finitas y con los pesos indicados.
Para valores no negativos, f(x) = x³ es convexa, por lo que la desigualdad de Jensen da f(μ) ≤ Σw_i f(x_i), si existen las magnitudes finitas y con los pesos indicados. Boyd y Vandenberghe explican esta relación para funciones convexas.
Una componente de velocidad con signo puede ser negativa, y x³ no es convexa en toda la recta real. Por tanto, la desigualdad para velocidades no negativas no puede trasladarse sin cambios a toda señal con signo. Una función cóncava invierte la comparación correspondiente bajo sus propias condiciones de dominio.
04 / Momentos de orden superior
La varianza y la asimetría intervienen en la media de los cubos.
Sean las desviaciones d_i = x_i−μ, con media ponderada de las desviaciones nula.
Sean las desviaciones d_i = x_i−μ, con media ponderada de las desviaciones nula. Desarrollar (μ+d_i)³ da la identidad Σw_i x_i³ = μ³+3μσ²+m3, donde σ² = Σw_i d_i² y m3 = Σw_i d_i³.
Para los tres valores inventados, σ² = 8/3 (m/s)² y m3 = 0, por lo que el término adicional es 3×5×8/3 = 40 (m/s)³. La igualdad de medias por sí sola no identifica esos momentos de orden superior; sus unidades también difieren de las de la media.
05 / Otros factores
El promedio de un producto puede retener la variación compartida.
Si una relación representada también contiene una densidad variable ρ, promediar ρx³ no suele ser lo mismo que multiplicar la densidad media por la media de los cubos.
Si una relación representada también contiene una densidad variable ρ, promediar ρx³ no suele ser lo mismo que multiplicar la densidad media por la media de los cubos. Su diferencia es Cov(ρ,x³) cuando existen esos momentos ponderados.
Ese álgebra trata los factores representados, no una supuesta ley de prestaciones de la turbina. Del mismo modo, el ruido de medición que pasa por una transformación no lineal puede alterar su media; un error de media nula no implica automáticamente un sesgo transformado nulo.
06 / Alcance
Una relación real de salida tiene su propia forma.
La potencia eléctrica real puede implicar coeficientes variables, estados de funcionamiento, pérdidas de conversión y límites de salida.
La potencia eléctrica real puede implicar coeficientes variables, estados de funcionamiento, pérdidas de conversión y límites de salida. Su relación no tiene por qué ser globalmente convexa ni simplemente proporcional a un cubo. Aplicar la desigualdad de Jensen exige la función real en el dominio representado.
La guía de distribuciones resume los registros de recurso eólico, y la guía de curvas de potencia explica las pruebas de potencia de salida. Esta página proporciona identidades matemáticas, no una estimación de producción, una ley de control ni una afirmación de prestaciones del producto.
Guías técnicas relacionadas: Densidad del aire en eólica: temperatura, presión y humedad · Promediado espacial del rotor: viento puntual, media del área y velocidad equivalente · Potencia instantánea del convertidor, almacenamiento y disipación.
Información general: Boyd y Vandenberghe: funciones convexas y desigualdad de Jensen. Estas referencias explican conceptos del sector; son independientes de los documentos aplicables de productos y proyectos MARSTON.
Conceptos y condiciones principales.
Interprete cada magnitud con su referencia, sus unidades y las condiciones indicadas. Una relación general no establece un valor específico de un modelo.
| Concepto / magnitud | Significado / relación | Condiciones / límites |
|---|---|---|
| μ | Σw_i x_i | Los pesos son no negativos y suman uno. |
| Media de los cubos | Σw_i x_i³ | En general, difiere de μ³. |
| σ² | Segundo momento central ponderado | Las unidades son el cuadrado de las unidades de entrada. |
| m3 | Tercer momento central ponderado | Conserva la asimetría con signo y las unidades cúbicas. |
| Comparación de Jensen | Función convexa en el dominio real considerado | No es una desigualdad universal de generación eléctrica. |
Preguntas de ingeniería.
¿Puedo transformar en general solo la entrada media?
No cuando el resultado buscado es la media de una salida no lineal.
¿Una relación afín fija conmuta con el promediado?
Sí, con los pesos normalizados comunes indicados.
¿Es válida la desigualdad cúbica para todos los valores con signo?
No. Debe conservarse su dominio de convexidad.
¿La media determina la media de los cubos?
No. También contribuyen la varianza y el tercer momento central.
¿El valor 165 estima la generación?
No. Sus unidades y su finalidad son estadísticas matemáticas del cubo de la velocidad.
¿La densidad variable es automáticamente independiente de la velocidad?
No. La variación compartida puede mantenerse a través de su covarianza.
Consulta técnica
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Aplicar una relación no lineal antes de promediar suele diferir de aplicarla a una entrada media. Comparta el modelo y la información aplicable de funcionamiento o diseño para una conversación de ingeniería.