التقنية / دليل فني
تحيز المقدِّر وتباينه ومتوسط مربع الخطأ
قد يتغير التقدير قليلًا ومع ذلك يخطئ هدفه بصورة منهجية. وقد يكون أيضًا غير متحيز مع تغيره بدرجة كبيرة بين التكرارات الافتراضية. يصف التحيز والتباين هذين السلوكين المنفصلين. ويجمع متوسط مربع الخطأ بينهما لهدف ثابت، مما يسهّل إدراك الافتراضات الكامنة وراء حساب المتوسط.
التقدير المستقر ليس بالضرورة تقديرًا صحيحًا.
يحدد الهدف ونموذج التكرار والأخطاء المشتركة ما إذا كان تقليل التغير الظاهر يحسّن تقدير الكمية المستهدفة.
01 / الهدف
التحيز يُحدد مقابل كمية محددة.
لتكن θ قيمة مستهدفة ثابتة، وليكن T مقدِّرًا تتغير نتيجته عبر تكرارات نموذج إحصائي محدد.
لتكن θ قيمة مستهدفة ثابتة وT مقدِّرًا تتغير نتيجته عبر تكرارات نموذج إحصائي محدد. ويكون انحيازه b = E[T] − θ. يتعلق هذا التوقع بنموذج التكرار المذكور، لا بمجرد سلسلة قصيرة من القراءات من حالة واحدة متحققة.
تغيير الهدف يغير التفسير. فتقدير متوسط ثابت يختلف عن تتبع إشارة متغيرة مع الزمن. قد يؤدي التأخير إلى اختلاف عن الإشارة الحالية حتى لو كان التقدير يصف فترة سابقة وصفًا صحيحًا؛ وتسمية كل اختلاف «تحيزًا» تخفي هذا التمييز.
02 / التشتت
يقيس التباين التغير حول متوسط المقدِّر نفسه.
التباين هو E[(T − E[T])²]، ووحداته هي مربع وحدات T.
التباين هو E[(T − E[T])²]، بوحدات T المربعة. وهو يصف التشتت حول متوسط نتيجة المقدِّر. ولا يقيس المسافة بين ذلك المتوسط وθ. لذلك قد يقع توزيع ضيق بعيدًا عن الهدف.
تميّز مذكرات MIT حول التقدير بين الانحياز والتباين ومتوسط مربع الخطأ. وتختلف هذه اللغة الإحصائية عن سجل محدود لقابلية التكرار: إذ توفر القيم المتكررة أدلة عن عملية واحدة، بينما تشير تعريفات التوقع والتباين إلى نموذج المجتمع الإحصائي المعلن.
03 / خطأ تربيعي
يفصل تفكيك MSE بين مساهمتين.
عندما توجد العزوم الإحصائية الثانية المطلوبة، MSE = E[(T − θ)²] = Var(T) + b².
عندما توجد العزوم الثانية المطلوبة، MSE = E[(T − θ)²] = Var(T) + b². يؤدي توسيع T − θ حول E[T] إلى حد تقاطعي ذي توقع صفري. ولكلتا المساهمتين وحدات الكمية المستهدفة مربّعة، لذا يمكن جمعهما باتساق.
تأمّل مقدِّرين افتراضيين. للمقدِّر A انحياز صفري وتباين 9 unit²، مما يعطي MSE بقيمة 9 unit². وللمقدِّر B انحياز 1 unit وتباين 4 unit²، مما يعطي MSE بقيمة 5 unit². وللمقدِّر B قيمة MSE أقل في هذا النموذج المحدّد رغم انحيازه.
04 / المتوسط المستقل
يقلل حساب المتوسط أحد الحدود مع الإبقاء على الآخر.
افترض أن Y[i] = θ + b + ε[i]، حيث b ثابت، والأخطاء ε[i] مستقلة ومتوسطها صفر وتباينها σ².
افترض أن Y[i] = θ + b + ε[i]، حيث b ثابت، والأخطاء ε[i] مستقلة ومتوسطها صفر وتباينها σ². ويحتفظ متوسط N قراءة بالانحياز b ويكون تباينه σ²/N. ويبلغ متوسط مربع الخطأ MSE له b² + σ²/N.
مع زيادة N، يقل التشتت المستقل، لكن الإزاحة الثابتة تبقى. ولا تعني النتيجة أن كل متوسط يصبح دقيقًا. فقد يُبطل الارتباط والانجراف وتغيّر الهدف نموذج التكرار البسيط، حتى عندما يكون عدد القراءات كبيرًا.
05 / التغيّر المشترك
تضع الأخطاء المشتركة حدًا أدنى للخطأ الذي يمكن بلوغه بأخذ المتوسط.
وسّع النموذج الافتراضي ليصبح Y[i] = θ + b + C + ε[i]، حيث C مساهمة عشوائية مشتركة ذات متوسط صفري، مستقلة عن حدود ε.
وسّع النموذج الافتراضي إلى Y[i] = θ + b + C + ε[i]، حيث C مساهمة عشوائية مشتركة ذات متوسط صفري ومستقلة عن حدود ε. تباين المتوسط هو Var(C) + Var(ε)/N. يوجد الحد المشترك في كل قراءة.
عندما تكون b = 2 وحدات، وVar(C) = 1 وحدة²، وVar(ε) = 4 وحدة²، وN = 4، يكون تباين المتوسط 2 وحدة² ومتوسط مربع الخطأ MSE يساوي 6 وحدة². توضح هذه القيم الافتراضية التغير المشترك؛ وهي ليست مواصفة لعدم يقين المستشعر.
06 / النطاق
التحسن الإحصائي يعتمد على الهدف المحدد.
تفرض MSE عقوبة على مربعات الانحرافات، لذا فهي معيار واحد من بين أهداف ممكنة.
يعاقب MSE على مربعات الانحرافات، لذا فهو معيار واحد ضمن أهداف ممكنة. وليس بالضرورة أن يكون للمقدِّر ذي MSE الأصغر حدّ أقصى أصغر للخطأ الممكن. كما أن المقارنة في المثال لا تثبت بقاء الترتيب نفسه في ظل نموذج تكرار مختلف.
لا يُدّعى أي مستوى لدقة مقدِّر لدى MARSTON أو وجود وظيفة لحساب المتوسط. إن دليل ملاءمة النماذج يتناول هدفًا منفصلًا: اختيار معلمات النموذج لتقليل أوجه الاختلاف في مجموعة من المشاهدات إلى أدنى حد.
أدلة فنية ذات صلة: المشتقات العددية: ميل الإشارة وتضخيم الضوضاء · المواءمة بطريقة المربعات الصغرى: البواقي والأوزان وأخطاء المدخلات · متبقيات النموذج: فجوات التنبؤ والأسباب الملتبسة.
معلومات عامة: MIT OpenCourseWare: تحيز التقدير، والتباين، و MSE.. تشرح هذه المراجع مفاهيم القطاع؛ وهي منفصلة عن وثائق منتجات MARSTON والمشروع المنطبقة.
المفاهيم والشروط الأساسية.
اقرأ كل كمية مع مرجعها ووحداتها وشروطها المذكورة. فالعلاقة العامة لا تحدد قيمة خاصة بطراز معين.
| المفهوم / الكمية | المعنى / العلاقة | الشروط / الحدود |
|---|---|---|
| القيمة المستهدفة θ | كمية ثابتة في المقارنة. | يجب بيان معناه وحدوده الزمنية |
| التحيز b | E[T] ناقص θ | يتطلب نموذجًا للتكرار بدلًا من الاكتفاء بنتيجة واحدة |
| التباين | التشتت حول E[T] | العزم الإحصائي الثاني موجود والوحدات مربّعة |
| MSE | التباين زائد مربع التحيز | يستخدم الهدف الثابت نفسه وعزومًا إحصائية منتهية |
| تباين المتوسط | مساهمات مستقلة ومشتركة. | يغيّر الارتباط والانجراف علاقة حساب المتوسط. |
أسئلة هندسية.
هل يمكن أن يكون التقدير عالي الدقة لكنه متحيّز؟
نعم. لا يثبت التشتت الصغير أن المتوسط يساوي القيمة المستهدفة.
هل التقدير غير المتحيز دائمًا هو الأفضل؟
ليس وفق كل هدف؛ فالمقارنة الافتراضية باستخدام MSE تشمل التباين.
هل تزيل عملية أخذ المتوسط انحيازًا ثابتًا؟
لا. تبقى الإزاحة الثابتة في المتوسط.
ماذا لو اشتركت الأخطاء في حد عشوائي مشترك؟
يبقى ذلك الحد بدلًا من أن يتناقص كما تتناقص الضوضاء المستقلة.
هل وحدة MSE هي نفسها وحدة الكمية المستهدفة؟
لا. وحدات MSE هي مربع وحدات الكمية المستهدفة.
هل يصف المثال مستشعرًا من نوع MARSTON؟
لا. إنه نموذج إحصائي معلن ذو قيم مبتكرة.
استفسار فني
ناقش السؤال الفني.
قد يتغير التقدير قليلًا ويظل منحرفًا عن هدفه بصورة منهجية. شارك النموذج ومعلومات التشغيل أو التصميم المنطبقة لإجراء مناقشة هندسية.